Při zkoumání cyklické výměny polí v pomocných matech jsem se dostal k otázce, kolik je možných různých cyklických záměn pro různá N ?
Pro N=3 (ABC) je to snadné, možnosti jsou pouze 2: BCA, CAB
Pro N=4 (ABCD) je možností 6: BCDA, BDAC, CADB, CDBA, DABC, DCAB
(důležité je, že se musí vyloučit dvojnásobné reciproční, např. CDAB, což je reciproční záměna mezi A a C a mezi B a D)
Pro vyšší N musíme ze všech možných permutací, kterých je N! (faktoriál), vyloučit všechny kratší cykly (například pro N=5 kombinace reciproční a cyklické ve 3). To na první pohled vypadá dost netriviálně. Udělal jsem si na to jednoduchý program v Basicu a došel jsem k zajímavému závěru:
Počet různých cyklických záměn pro N prvků je (N-1)! (faktoriál)
Další výsledky shrnuje tato tabulka:
N=5 (ABCDE), počet možností = 4! = 24, BCDEA, BCEAD, BDAEC, BDECA, BEACD, BEDAC, CADEB, CAEBD, CDBEA, CDEAB, CEBAD, CEDBA, DABEC, DAECB, DCAEB, DCEBA, DEABC, DEBCA, EABCD, EADBC, ECABD, ECDAB, EDACB, EDBAC
N=6 (ABCDEF), počet možností = 5! = 120, BCDEFA, BCDFAE, BCEAFD, BCEFDA, BCFADE, BCFEAD, BDAEFC, BDAFCE, BDECFA, BDEFAC, BDFCAE, BDFECA, BEACFD, BEAFDC, BEDAFC, BEDFCA, BEFACD, BEFCDA, BFACDE, BFAECD, BFDACE, BFDEAC, BFEADC, BFECAD, CADEFB, CADFBE, CAEBFD, CAEFDB, CAFBDE, CAFEBD, CDBEFA, CDBFAE, CDEAFB, CDEFBA, CDFABE, CDFEAB, CEBAFD, CEBFDA, CEDBFA, CEDFAB, CEFADB, CEFBAD, CFBADE, CFBEAD, CFDBAE, CFDEBA, CFEABD, CFEBDA, DABEFC, DABFCE, DAECFB, DAEFBC, DAFCBE, DAFECB, DCAEFB, DCAFBE, DCEBFA, DCEFAB, DCFBAE, DCFEBA, DEABFC, DEAFCB, DEBCFA, DEBFAC, DEFBCA, DEFCAB, DFABCE, DFAEBC, DFBCAE, DFBECA, DFEBAC, DFECBA, EABCFD, EABFDC, EADBFC, EADFCB, EAFBCD, EAFCDB, ECABFD, ECAFDB, ECDAFB, ECDFBA, ECFABD, ECFBDA, EDACFB, EDAFBC, EDBAFC, EDBFCA, EDFACB, EDFCBA, EFABDC, EFACBD, EFBACD, EFBCDA, EFDABC, EFDBCA, FABCDE, FABECD, FADBCE, FADEBC, FAEBDC, FAECBD, FCABDE, FCAEBD, FCDABE, FCDEAB, FCEADB, FCEBAD, FDACBE, FDAECB, FDBACE, FDBEAC, FDEABC, FDECAB, FEABCD, FEACDB, FEBADC, FEBCAD, FEDACB, FEDBAC
N=7, počet možností = 6! = 720
N=8, počet možností = 7! = 5040