Více prostoru - remis !

(Václav Kotěšovec, Pat a Mat 30/2000, str.307-308)

(endgame king and two leapers against king on boards 9x9, 10x10, 11x11, 12x12, 13x13, ...)

Tento příspěvek navazuje na článek "Koncovka dvou obecných skokanů proti králi" (Pat a Mat 19/1994). Tehdy jsem pomocí počítače prozkoumal celkem 630 typů koncovek a zjistil, že na šachovnici 8x8 lze zmatit (z obecné pozice) samotného soupeřova krále s pomocí vlastního krále pouze v 7 případech kombinací skokanů (viz tabulka). Velmi mě potěšilo, že článek měl velkou odezvu a výsledky byly reprodukovány v anglických a francouzských časopisech. John Beasley referoval o mých výsledcích ve své přednášce ve Francii. Jeho kolega Ian Gent dokonce zadal toto téma 2 studentům (Robert M.Smith, Gary B.Stewart) na jedné skotské univerzitě jako diplomovou práci.

Od té doby (vytvářeno v roce 1993) udělaly počítače značný krok vpřed v rychlosti (koncovka, kterou jsem tehdy generoval asi 60 hodin, je dnes zanalyzovaná za pouhé 2 minuty) a ve velikosti paměti (a též v jejím ovládání s možností přímé adresace libovolně velkých polí). To umožnilo analyzovat stejnou koncovku na větších šachovnicích a výsledky zobecnit.

Výsledky jsou mírně překvapující. Koncovky, které jsou na šachovnici 8x8 vyhratelné, jsou na větších šachovnicích od určité velikosti remízové. Problém je tedy se zatlačením soupeřova krále do rohu šachovnice. Na větší šachovnici má král více prostoru a při správné hře se přesile krále a dvou skokanů ubrání.

Šachovnice je nutno rozdělit na dva různé typy pro sudé a liché N.

Zatímco na šachovnici 8x8 je vyhratelných 7 typů koncovek, na šachovnici 10x10 jsou z těchto vyhratelné pouze 3 a navíc dvojice (1,2)+(1,8). Na šachovnici 12x12 zůstává vyhratelnou pouze jediná koncovka král + vezír + jezdec - král. V pozici KA1 (0,1)A12 (1,2)L1 - KJ4 bílý matí 194.tahem ! Koncovka už ale není vyhratelná na 14x14.

V případě lichých šachovnic je na 9x9 vyhratelných celkem 15 koncovek, na 11x11 pouze 5 a na 13x13 zůstává vyhratelnou pouze kombinace skokanů (1,2) + (1,3). V pozici KA1 (1,2)L13 (1,3)M13 - KA3 bílý matí 119.tahem ! Koncovka už ale není vyhratelná na 15x15.

Můžeme přijmout tvrzení, že pokud je některá z těchto koncovek remízová, je remízová i na libolovné větší šachovnici shodného typu (je-li remízová např. pro n=8, platí totéž i pro n=10,12,14, ...). Jedinou možností pro výhru tak zůstává nová kombinace neexistující na menší šachovnici [jako např. (1,2) + (1,8) na 10x10]. Vzhledem k omezenému pohybu těchto skokanů je však velmi nepravděpodobné, že by byla vyhratelná ještě nějaká další koncovka [např. (1,2) + (1,10) na 12x12 je už remízová]. Pro šachovnice do 12x12 jsem počítačem prozkoumal všechny možné kombinace skokanů, pro větší šachovnice jsem zkoumal jen ty, které byly vyhratelné na menších šachovnicích.

Téměř s jistotou lze prohlásit, že na šachovnicích větších než 13x13 jsou všechny tyto koncovky remízové !!!

Výsledky shrnuje tato tabulka (od 9x9 jde o nové výsledky). Vyhrávající materiál podle velikosti šachovnice NxN a kombinace kamenů [Král + (x₁,y₁)skokan + (x₂,y₂)skokan – Král, 0 <= x₁,x₂,y₁,y₂ <= N-1]. Číslo v tabulce udává maximální počet tahů potřebných k matu, prázdná pole představují remis (stejně tak pro neuvedené kombinace skokanů).

Vysvětlivky: Koncovky označené jako “c” jsou vyhratelné jen s černopolným skokanem (u skokanů [x,y], kde x+y je sudé, je nutnou podmínkou mat v rohu barvy skokana, tj.na šachovnicích NxN, kde N je liché, nelze vynutit mat s tímto skokanem na bílém poli). Koncovky označené jako “y” jsou vyhratelné jen pro černopolné skokany (0,2), resp.(2,4), ale navíc se musí tito skokani vyskytovat v zóně na polích A1, C1, E1, ..., A3, C3, E3, ..., A5, C5, E5, ..., A7, C7, E7, ... . Pro ostatní pole jsou koncovky remízové, např.z pole B2 nelze skokana převést do výše uvedené zóny. Koncovky označené jako “by” musí splňovat podmínku “y” a navíc musí být skokan (1,3) bělopolný. V koncovkách označených “z” musí být skokan (1,1) nebo (1,3) na bílém poli a skokan (2,4) na černém poli.

Poznámka (31.3.2001). Některé koncovky na šachovnicích 5x5 a 6x6 mají méně než 50% vyhraných pozic, přesto jsem je nyní označil jako vyhrané. Po diskusi s Johnem Beasley jsem přijal definici vyhrané pozice ne podle počtu vyhraných pozic, ale podle toho jestli je vyhratelná pozice například Ka2 Skokan a1 Skokan b1 proti černému králi na libovolném volném poli tak, že je pozice legální. Tato nová definice lépe vystihuje vyhratelnost koncovek. Na větších šachovnicích je již procento pozic, kdy může černý krát brát nebo získat některého ze skokanů zanedbatelné a tato definice je identická s definicí podle počtu vyhraných pozic.

Závěrem je možno se ptát, zda existuje trojice skokanů, která společně s králem stačí na zmacení soupeřova krále na libovolně velké šachovnici. Řešení tohoto velmi netriviálního problému je ale asi úkol až pro další generace...